"Неограниченное поле" и "повехность без края" - две большие разницы :)
На бублике нельзя одному из игроков пойти в космос

Клеточные варианты мне кажется будут наоборот упрощаться и приводить к быстрой победе одной стороны
(ведь в принципе поверхность без края можно рассматривать как "приближение" неограниченного поля,
а у Гарднера, например, излагается, что на неограниченном поле первый игрок должен выигрывать,
потому что если бы мог выиграть второй, то первый сделал бы произвольный ход, а потом играл бы
по стратегии второго - это к слову о вопросе zenker`a)

Во-первых, как заметил Placid, это рассуждение справедливо только для бесконечных досок, а для конечных (в том числе на "бублике" или на ограниченной доске) неверно. Так, в принципе возможны шахматы, в которых у второго игрока будет выигрышная стратегия.
Но этим неточности не исчерпываются. Гарднер доказывал не то, что первый игрок должен выиграть, а то, что первый игрок не должен проиграть. Разница большая, в первом случае отрицается возможность ничьи...

Что касается крестов - забавно, в поддавки всегда рулят нолики =) В поддавках на большей доске очевидная ничья.

Можно расширить тему.. ведь имеется топологическая классификация двумерных многообразий в K-мерном пространстве. Род поверхности определяет класс.. При K=3 насколько я помню - это крендель с R дырками. R определяет род. У тора как у самого неказистого кренделя R=1. Ну а если резаться в K-D при K>3 то уже могут быть не только дырки но и пучки (либо узлы).. точно уже не помню.. по-сути подклеенные листы Мебиуса. Дырки же - это подклеенные торы. В этом случае (в K-D) у многообразия может быть N дырок и M узлов.. другого не бывает насколько я помню.. давно дело было.

Ну при K>3 рано пока игры испытывать, равно как и при R=1. Достаточно R=0 чтобы уже задуматься об исходах игр на клетчатой доске, вот когда матчасть этой разновидности разработаем, тогда и за неказистый крендель можно будет браться :)

Матчасть на втром курсе проходили :) Давненько это было :)
Итак, классифкация замкнутых поверхностей
Орентируемые - сфера с подклеенными N ручками
N=0 сфера
N=1 тор
N=2 крендель и т.д.

Неориентируемые - сфера с подклеенными N листами Мебиуса
N=1 проективная плоскость
N=2 бутылка Клейна и т.д.

"N дырок и M узлов" - то же самое, что M + 2*N узлов
Кажется так...

Проблема в том, как разбить эти поверхности на клетки. Регулярную шаматную доску можно нарисовать только на торе и бутылке Клейна. На других поверхностях обязательно будут некоторые "особые" клетки

ээ, ребята, что-то слишком вы увлеклись, моего объемного воображения еле-еле на тор хватает , а крендели, да еще и с подклеенными пучками и ручками - это уже высший пилотаж...