Самое удобное поле для игры - квадрат, в него вписывается простая сетка. Что можно сделать с квадратным полем такое, чтобы изменить его свойства, но чтобы играть на нем еще было можно? Можно растянуть или сжать его, и это может дать неплохие результаты.
Но что может дать изменение размеров доски, например, для шахмат? Изменение ширины поля влечет за собой либо уменьшение числа фигур, либо их увеличение, что хотя и интересно, но слишком изменяет правила. Уменьшение вертикального размера приведет к тесноте на доске, к невозможности длинного хода для пешек и т.д., а увеличение…
Попробуем другой путь. Например, свернем доску в трубку и склеим боковые края. Не надо понимать этого буквально - вполне достаточно сделать это мысленно, т.е. считать, что левее самого левого столбца клеток расположен самый правый столбец. При этом доска становится замкнутой, свойства ее резко изменились, а количество клеток осталось тем же. Что нового мы видим на этой доске? Прежде всего, исчезли угловые клетки. Значит, в самой игре исчезло все, что с ними связано. Углы - как правило, особые точки. Особенно важны углы в реверси - именно на захвате углов строится вся тактика этой игры. Во-вторых, не стало боковых границ, а значит клетки крайних столбцов ничем не отличаются от остальных клеток. Значит, если фигуры в игре передвигаются, то они стали более подвижны, а если взаимодействуют (как в крестиках-ноликах или реверси), то увеличилось число возможных комбинаций. В шашках больше нельзя построить "сортир", приперев чужую шашку к краю. В реверси при исчезновении угловых полей исчезает неприкосновенность угловых фишек, хотя установка своих фишек на край доски еще может дать некоторые преимущества. Кроме того из-за удлинения диагоналей (все 16 диагоналей этой доски состоят из 8 клеток) среднее количество переворачиваемых с каждым ходом фишек увеличивается, что делает игру еще более непредсказуемой.
На доске осталось только два края (замкнутых) - верхний и нижний. Заметим, что для таких игр, как шашки и шахматы это очень важно, т.к. позволяет задать направление для движения фигур.

Попробуем теперь склеить как вертикальные, так и горизонтальные края. Что получится, если свернуть трубу в кольцо и сварить? Что-то вроде бублика или надутой мотоциклетной камеры. Такая поверхность называется тором. Для шашек и шахмат эта операция не слишком подходит, т.к. противоборствующие армии в начальной позиции смешиваются. Если их перегруппировать (и изменить при этом число фигур), то остается проблема с выделенным направлением для пешек (и шашек), с превращением на последней горизонтали и т.д. Несмотря на это, шахматные задачи на тороидальной (как и на горизонтальной цилиндрической) доске достаточно популярны. Но ведь задача - это только эпизод, а не вся игра.
А вот крестики-нолики (игра в тороидальные крестики-нолики ничем не отличается от цилиндрического варианта, ведь закольцованность линий в этой игре не имеет никакого значения, а выигрышные позиции в обоих вариантах одинаковы), реверси, го на бублике вполне возможны.
Все клетки тора равноценны, никаких краев на этом поле нет, что полностью отменяет классическую стратегию игры в реверси: не только углов, но и выделенных сторон больше не существует. Тем большее значение приобретают такие более тонкие тактические принципы, как принцип минимума, учет компактов и паритета. Кроме того все прямые - горизонтали, вертикали и диагонали являются кольцевыми, что обогащает игру новыми ситуациями. Как и на цилиндрической доске, диагонали пересекаются в двух точках, поэтому актуальны все уточнения правил игры, выработанные для цилиндрического поля. Практика игры на тороидальной доске показала, что изменения ситуации здесь еще более резкие, чем на цилиндре, особенно в конце игры.

Можно порассуждать еще о листе Мебиуса в качестве игрового поля и о бутылке Клейна, но это уже слишком..

Два слова о том, когда исходная доска имеет прямоугольную форму, причем длины сторон отличаются на единицу, - на поле имеется всего две очень длинных диагонали (одна "черная" и одна "белая", проходящих через каждую клетку своего цвета дважды.

И еще несколько "неправильных" замыканий доски. Если склеить боковой край с горизонтальным, то получим коническую доску. У нее вертикали являются продолжениями горизонталей, длина диагоналей принимает значения от 1 до 15, нет ни одной замкнутой линии и имеется 2 угла различной "силы". Если таким же образом склеить два оставшихся края, то получится подобие чебурека, состоящее из двух конусов. Изначальная перекошенность такой доски делает ее пригодной разве только для уголков (именно в уголках важна диагональная симметрия). Попробуйте, может и для других игр на этой доске найдется своя изюминка.

А как же другие поверхности, например проективная плоскость или, наконец, сфера? У них один недостаток: их нельзя покрыть полностью квадратной сеткой, т.е. применить их в качестве игрового поля значительно сложнее. Тем не менее, известны такие варианты, как сферические и проективные шахматы. Например, в проективных шахматах обычная доска дополняется четырьмя "несобственными" клетками - точками пересечений вертикалей, горизонталей, восходящих диагоналей и нисходящих диагоналей. Проективная плоскость при этом используется не полностью: в игре участвуют только квадрат 8x8 и 4 точки несобственной прямой. В сферических же шахматах наряду с квадратными участвуют и треугольные клетки.

зы. Это не моё творение, это конспект публикаций серии статей Топология игрового поля. Первая из них является введением в топологию поверхностей, во второй рассматривается, как изменится характер некоторых известных игр, если в них играть на досках с необычной топологией, а третья статья целиком посвящена игре Реверси (тоже с изменением топологии). http://www.beluch.ru/articles/topo3.htm

Ухх,жесть))))) Хочу рисунки этого дела))))

Любуйся, даже поиграть можешь))))

http://www.beluch.ru/articles/rever1.htm

"смогут с помощью этой программы провести более полноценный анализ для Реверси на замкнутых досках и разработать более детальную стратегию для каждого случая"

Для начала надо с мощной Зеброй на простой, без выкрутасов, доске провести более полноценный анализ для Отелло и разработать более детальную стратегию для каждого случая сдвига моска:)

Ломать - не строить)) Возьмем для начала детские крестики-нолики 3x3.
Если не ошибаюсь, то закономерный исход борьбы:
1. На обычной доске - ничья при правильной игре.
2-3. На цилиндрической (тороидальной) доске - начинающий всегда выигрывает. Причем, игра в любом случае не может закончиться вничью.

С этой точки зрения возникает вопрос - каков закономерный исход игры в X-O в поддавки для следующих досок:
4. Обычная.
5. Цилиндрическая.
6. Тороидальная.

Поскольку в 5 и 6 случаях ничья невозможна, то должна существовать выигрышная стратегия за одну из сторон.

2zenker: По-моему обобщение неверное. Доска 3х3 и выигрывает построение в 3 камня никак не связаны с доской 15х15 и построением в 5 камней. В первом же варианте построение в любом случае от края доски до края. Что касается второго случая, то по-моему игра обогатится, правда столь далеко идущие планы человеку будет не под силу рассчитать, чтобы сделать так, что конфигурация камней одного края, могла быть использована камнями другого, по мере заполнения. Ну и кстати смотрю я щас на игру роботов межу собой и подумалось, что тогда преимущество черного цвета будет еще большим :)

2Juliajulia: Для случая цилиндрической доски для реверси по-моему игра обеднеет, борьба будет идти за несклеенные борта, в остальном почти всегда будет выгоднее брать как можно больше, особенно выгодно будет иметь свой цвет в вертикалях(горизонталях) между несклеенными краями. Да и игры с углом часто красивы, зачем же этой красоты лишать реверси :)

Так обобщения и не было, была указана конкретная игра (основная тема касалась в принципе любой игры). И для нее забавный, на мой взгяд, результат (отсутствие даже кооперативной ничьи). Отсюда логичный переход кто должен выиграть в поддавки, т.е вынудить выиграть соперника по обычным правилам. Интересно было чисто умозрительно построить стратегию, там есть хоть и элементарные, но интересные моменты. Попробуйте... ))

P.S. Перечитал свое и ответное сообщение, понял причину недоразумения. Вопрос касался именно игры 3x3, но понять можно двояко: в том числе и для X-O в целом, хотя не это имелось в виду ))

Это сообщение отредактировал zenker - 13/02/2008, 13:10

Задачка для начинающих топологов - почему на сфере и проективной плоскости нельзя нарисовать шахматную доску, а на торе и бутылке Клейна можно? :)

Что касается реверси на замкнутых поверхностях - прикольно, но, как мне кажется, белые имеют подавляющее преимущество

Значит, надо белых в чем-то ограничить

Хорошая тема!

Мы увлекались игрой в "БАЛДУ" еще студентами 9 лет назад - на 1-2 курсе, поле 5х5 надоело быстро,
пото му перешли на поверхность "бублика", что дало немыслимое количество дополнительных вариантов
и ухищрений в игре словесами )

Клеточные варианты мне кажется будут наоборот упрощаться и приводить к быстрой победе одной стороны
(ведь в принципе поверхность без края можно рассматривать как "приближение" неограниченного поля,
а у Гарднера, например, излагается, что на неограниченном поле первый игрок должен выигрывать,
потому что если бы мог выиграть второй, то первый сделал бы произвольный ход, а потом играл бы
по стратегии второго - это к слову о вопросе zenker`a)

Это сообщение отредактировал imag - 14/02/2008, 21:53