|
Главный элемент - распределение вероятностей, называемое гипергеометрическим. Оно описывает вероятность того, что среди k предметов, вынутых случайно из кучи в N предметов, окажется x нужных, при условии, что всего в этой куче S нужных предметов.
Разумеется, k<=N, S<=N, x<=S; x<=k;
Например, если в ящике 50 шаров (из них 21-белый), мы вынимаем 10 и желаем узнать, с какой вероятнустью получим среди них 5 белых, то
x=5;
k=10;
S=21;
N=50;
Формула распределения не очень сложная, но я ее не помню, зато Эксель содержит функцию, вычисляющую ее. Называется функция (в русской версии) ГИПЕРГЕОМЕТ, название параметров и их соответствие (простите, экселевскими именами пользоваться невмочь) таковы:
Пример_s....................... x
Размер выборки................. k
Ген_совокупность_s............. S
Размер_ген_совокупности........ N
Соответственно, ГИПЕРГЕОМЕТ(1,2,3,4) вычисляет вероятность того, что выбрав случайно из трех белых и одного черного предмета два, мы получим ровно один белый. Как нетрудно убедиться, ГИПЕРГЕОМЕТ(1,2,3,4)=0.5, как и должно.
Легко сообразить, что
ГИПЕРГЕОМЕТ(x,k,S,N)=ГИПЕРГЕОМЕТ(S-x,N-k,S,N)=ГИПЕРГЕОМЕТ(k-x,k,N-S,N)
а также, что сумма вероятностей для всех х от 1 до S (при условии, что S<=k), равна 1.
Как это применить к бриджу? Просто.
Предположим, открылся стол и вы (вистующий) видите к себя 5ку пик и на столе 4ку пик. Какова вероятность, что у партнера 3 карты?
Мы не знаем положение 26 карт - это "куча" (N=26).
"Нужных" карт нужной нам масти в этой куче 4 - S=4;
Мы "заполняем" из этой кучи руку партнера, в которой 13 свободных мест - k=13
Мы хотим получить 3 карты - x=3
Итого: ГИПЕРГЕОМЕТ(3,13,4,26) = 24.87%
Учет того, что у партнера всего 13 карт дал поправку относительно "классического" результата 1/4 для расклада 1-3.
А если партнер заявил в торговле пятерку в другой масти, в черве?
Тогда у него на 5 свободных мест в руке меньше (осталось 8), но и в "куче" меньше на 5 карт (21):
ГИПЕРГЕОМЕТ(3,8,4,21) = 12.16%
Однако, у партнера наверняка ровно 5ка червей, с 6 или 7ю он бы блокировал. Поэтому мы знаем полное распределение червовой масти и ее надо всю выкинуть из неизвестной "кучи". Предположим, что вы видите у себя и на столе 5 червовых карт, тогда в "куче" их было 8, 5 у партнера, 3 у разыгрывающего. Выкинем их и получим N=18. В таком случае
ГИПЕРГЕОМЕТ(3,8,4,18) = 18.3%
Теперь давайте сосчитаем, какова вероятнотность распределения 5-4-3-1 (пика-черва-бубна-трефа, т.е. в фиксированные масти) "до начала сдачи" (т.е. пока еще ничего о картах неизвестно).
Вероятность пятерки пик:
ГИПЕРГЕОМЕТ(5,13,13,52) = 12.47%
Предположим, мы успешно получили 5ку пик, какова вероятность получить теперь четверку червей? Свободных мест осталось 8, и, поскольку мы не хотим добавлять в руку пику, пиковую масть следует исключить из неизвестных. Нужных карт по-прежнему 13, но теперь подразумевается черва.
ГИПЕРГЕОМЕТ(4,8,13,39) = 17.37 %
Аналогично, когда пришла очередь бубны, осталось 4 места и 26 неизвестных карт (13 из них бубновых). Как и выше:
ГИПЕРГЕОМЕТ(3,4,13,26) = 24.87 %
Оставшееся место с вероятностью 1 заполняется трефой. (ГИПЕРГЕОМЕТ(1,1,13,13)=1, как и всегда, если x=k и S=N)
Перемножив все, получаем:
p=0.54%
Если начать с другой масти, получится, разумеется, то же самое. Например, в обратном порядке:
ГИПЕРГЕОМЕТ(1,13,13,52)*ГИПЕРГЕОМЕТ(3,12,13,39)ГИПЕРГЕОМЕТ(4,9,13,26)= 0.54%
Вот и все.
|
